卡特兰数(Catalan Number)

卡特兰数又称卡塔兰数,英文名Catalan number,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。该数在计算机专业中比较重要,有一些具体的应用实例。这篇文章主要分三部分:

  1. 卡特兰数递归式的含义解释
  2. 卡特兰数表达式的证明过程
  3. 卡特兰数的计算机中的应用

Catalan Number递归式解释

假设h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式:

递归式背后有什么物理含义呢,这里以出栈序列问题进行说明:

问题描述:一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?
含义解释:首先,我们设$h(n)$=序列个数为n的出栈序列种数。(我们假定,最后出栈的元素为k,显然,k取不同值时的情况是相互独立的,也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则,由于k最后出栈,因此,在k入栈之前,比k小的值均出栈,此处情况有$h(k-1)$种,而之后比k大的值入栈,且都在k之前出栈,因此有$h(n-k)$种方式,由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的,此处可用乘法原则,$h(n-k)*h(k-1)$种,求和便是Catalan递归式。

Catalan Number表达式证明

第n个卡特兰数h(n)表达式如下 $$ h(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} \tag{1.2} $$ 具体证明过程如下
为了便于编程实现,需要进一步推导$h(n)$与$h(n-1)$之间的关系 已知$h(n)$,易知 $$ h(n-1)=\frac{C_{2n-2}^{n-1}}{n} $$ 推导$h(n)$的$C_{2n}^{n}$和$h(n-1)$的$C_{2n-2}^{n-1}$之间的关系,由$kC_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k-1}$知 $$ \begin{align} n*C_{2n}^{n}&=2nC_{2n-1}^{n-1} \\ C_{2n}^{n}&=2C_{2n-1}^{n-1} \\ C_{2n}^{n}&=2\frac{(2n-1)C_{2n-2}^{n-1}}{n} \\ C_{2n}^{n}&=2(2n-1)h(n-1) \\ \frac{C_{2n}^{n}}{n+1}&=\frac{2(2n-1)}{n+1}h(n-1) \\ h(n)&=\frac{2(2n-1)}{n+1}h(n-1) \end{align} $$ 最终得到$h(n)$和$h(n-1)$之间的递归式$h(n)=\frac{2(2n-1)}{n+1}h(n-1)$

Catalan Number应用实例

括号匹配问题

问题描述: 矩阵连乘 $P=A_1A_2...A_n$,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,问有几种括号化的方案?
问题转换一下就是n对括号的正确匹配方案,可以做一下LeetCode-22

出栈次序问题

问题描述: 一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
出栈问题问题正是卡特兰数递归式$h(n)=h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2)+...+h(n-1)h(0)$的由来

相关应用问题

1. 有2n个人排成一行进入剧场,入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
2. n个1和n个0组成一个2n位的二进制数,要求从左到右扫描,0的累计数不小于1的累计数,求满足条件的的数。
3. 12个人排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?
我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排。对问题进行转化:用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,并且任意前缀中0的个数大于等于1的个数就对应一种方案,转化后的问题就是问题2了。
4. 给定节点组成二叉树的问题:给定n个节点,能构成多少种形状不同的二叉树?
先取一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至n-1个相对应的,右边是n-1到0个,两两配对相乘,就是$h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n)$能构成$h(n)$个,因此二叉树问题也可以解释卡特兰数递归式(1.1)式的由来
5. n*n棋盘从左下角走到右上角而不穿过主对角线的走法?
要从左下角走到右上角则必须向上走n步,向右n步,同时为了不跨过主对角线,则走过的步数中向上走的步数必须大于等于向右走的步数,剖析之后发现这个问题与问题3是等价问题,走法有卡特兰数$h(n)$种。可以做一下下面两题练练手:
hdoj2067-小兔的棋盘
LeetCode62-Unique Paths
6. n个+1和n个-1构成的2n项序列,其部分和总满足:$a_1+a_2+...+a_n>=0$的序列的个数。
卡特兰数表达式(1.2)式就是以该问题模型为基础推导出来的

参考链接:
  1. https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/7628667
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作者: brooksjay
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