卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。该数在计算机专业中比较重要，有一些具体的应用实例。这篇文章主要分三部分：
- 卡特兰数递归式的含义解释
- 卡特兰数表达式的证明过程
- 卡特兰数在计算机中的应用
Catalan Number递归式解释
假设h(0)=1，h(1)=1，catalan数满足递推式：
递归式背后有什么物理含义呢，这里以出栈序列问题进行说明：
问题描述：一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?含义解释：首先，我们设$h(n)$=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有$h(k-1)$种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有$h(n-k)$种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，$h(n-k)*h(k-1)$种，求和便是Catalan递归式。
Catalan Number表达式证明
第n个卡特兰数h(n)表达式如下 $$ h(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} \tag{1.2} $$ 具体证明过程如下
Catalan Number应用实例
括号匹配问题
问题描述: 矩阵连乘 $P=A_1A_2...A_n$，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，问有几种括号化的方案？问题转换一下就是n对括号的正确匹配方案，可以做一下LeetCode-22
出栈次序问题
问题描述: 一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?出栈问题问题正是卡特兰数递归式$h(n)=h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2)+...+h(n-1)h(0)$的由来
相关应用问题
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3. 12个人排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？
我们先把这12个人从低到高排列，然后，选择6个人排在第一排，那么剩下的6个肯定是在第二排。对问题进行转化：用0表示对应的人在第一排，用1表示对应的人在第二排，那么含有6个0，6个1的序列，并且任意前缀中0的个数大于等于1的个数就对应一种方案，转化后的问题就是问题2了。
4. 给定节点组成二叉树的问题：给定n个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
先取一个点作为顶点，然后左边依次可以取0至n-1个相对应的，右边是n-1到0个，两两配对相乘，就是$h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n)$能构成$h(n)$个，因此二叉树问题也可以解释卡特兰数递归式(1.1)式的由来
5. n*n棋盘从左上角(0,0)走到右下角(n,n)而不跨过主对角线的走法？
要从左上角(0,0)走到右下角(n,n)则必须向下走n步，向右n步，同时为了不跨过主对角线(允许在主对角线上)，则走过的步数中向下走的步数必须大于等于向右走的步数，剖析之后发现这个问题与问题3是等价问题，走法有卡特兰数$h(n)$种。可以做一下下面两题练练手：
hdoj2067-小兔的棋盘
LeetCode62-Unique Paths
6. n个+1和n个-1构成的2n项序列，其部分和总满足：$a_1+a_2+...+a_n>=0$的序列的个数。
卡特兰数表达式(1.2)式就是以该问题模型为基础推导出来的
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